Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, với $\alpha ,a,b$ là những số cho trước, xét phép biến hình $F$ biến mỗi điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm $M’\left( x’;y’ \right)$ trong đó: $\left\{ \begin{align} & x’=x.\cos \alpha -y.\sin \alpha +a \\ & y’=x.\sin \alpha +y.cos\alpha +b \\ \end{align} \right.$ . Cho hai điểm $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$, gọi $M’,N’$ lần lượt là ảnh của $M,N$ qua phép biến hình $F$. Khi đó khoảng cách $d$ giữa $M’$ và $N’$ bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, với $\alpha ,a,b$ là những số cho trước, xét phép biến hình $F$ biến mỗi điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm $M’\left( x’;y’ \right)$ trong đó: $\left\{ \begin{align}

& x’=x.\cos \alpha -y.\sin \alpha +a \\

& y’=x.\sin \alpha +y.cos\alpha +b \\

\end{align} \right.$ .

Cho hai điểm $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$, gọi $M’,N’$ lần lượt là ảnh của $M,N$ qua phép biến hình $F$. Khi đó khoảng cách $d$ giữa $M’$ và $N’$ bằng:

C. $d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$ .

B. $d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$.

C. $d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$.

D. $d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $\left\{ \begin{align}

& {{x}_{1}}^{\prime }={{x}_{1}}.\cos \,\alpha -{{y}_{1}}.\sin \,\alpha +a \\

& {{y}_{1}}^{\prime }={{x}_{1}}.\sin \,\alpha -{{y}_{1}}.\cos \,\alpha +b \\

\end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align}

& {{x}_{2}}^{\prime }={{x}_{2}}.\cos \,\alpha -{{y}_{2}}.\sin \,\alpha +a \\

& {{y}_{2}}^{\prime }={{x}_{2}}.\sin \,\alpha -{{y}_{2}}.\cos \,\alpha +b \\

\end{align} \right.$

$\Rightarrow {M}'{N}’=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}^{\prime }-{{x}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}^{\prime }-{{y}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}}$

$=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}^{\prime }-{{x}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}\,\alpha +{{\left( {{y}_{2}}^{\prime }-{{y}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}{{\sin }^{2}}\,\alpha +{{\left( {{x}_{2}}^{\prime }-{{x}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}{{\sin }^{2}}\,\alpha +{{\left( {{y}_{2}}^{\prime }-{{y}_{1}}^{\prime } \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}\,\alpha }$

$=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$ .