Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, cho $\overrightarrow{v}=\left( -2;1 \right)$ và đường thẳng $d:2x-3y+3=0$, ${{d}_{1}}:2x-3y-5=0$. Tìm tọa độ $\overrightarrow{w}=\left( a;b \right)$ có phương vuông góc với đường thẳng $d$ để ${{d}_{1}}$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{w}}}$. Khi đó $a+b$ bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, cho $\overrightarrow{v}=\left( -2;1 \right)$ và đường thẳng $d:2x-3y+3=0$, ${{d}_{1}}:2x-3y-5=0$. Tìm tọa độ $\overrightarrow{w}=\left( a;b \right)$ có phương vuông góc với đường thẳng $d$ để ${{d}_{1}}$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{w}}}$. Khi đó $a+b$ bằng:

C. $\frac{6}{13}$ .

B. $\frac{16}{13}$.

C. $\frac{-8}{13}$ .

D. $\frac{5}{13}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{w}=\left( 2m;-3m \right)$

${{T}_{\overrightarrow{w}}}\left( M \right)={M}’\left( 2m;1-3m \right)$ , với $M\in d$

${{T}_{\overrightarrow{w}}}\left( d \right)={d}’\Rightarrow {d}’$ có dạng $2x-3y+\beta =0$

Vì ${d}’$ qua $M$ $\Rightarrow 4m-3+9m+\beta =0\Leftrightarrow \beta =3-13m$.

$\Rightarrow {d}’:2x-3y+3-13m=0$

Để ${{d}_{1}}\equiv {d}’\Rightarrow 3-13m=-5\Leftrightarrow m=\frac{8}{13}$ $\Rightarrow \vec{w}=\left( \frac{16}{13};-\frac{24}{13} \right)\Rightarrow a+b=-\frac{8}{13}$ .