by : Trong mặt phẳng cho $n$ điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong $n-1$ điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?
C. $2C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
B. $C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-2\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
C. $3C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-2\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
D. $C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
Hướng dẫn
Chọn D
Gọi n điểm đã cho là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$. Xét một điểm cố định, khi đó có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng nên sẽ có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.
Do đó có $nC_{n-1}^{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}$ đường thẳng vuông góc nên có
$C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}$ giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau).
Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại
* Qua một điểm có $C_{n-1}^{2}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ nên ta phải trừ đi $n\left( C_{n-1}^{2}-1 \right)$ điểm
* Qua ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}$ có 3 đường thẳng cùng vuông góc với ${{A}_{4}}{{A}_{5}}$ và 3 đường thẳng này song song với nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi $3C_{n}^{3}$
* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi $2C_{n}^{3}$
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là:
$C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$.
