: Trong khai triển của ${{(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x)}^{10}}$ thành đa thức ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{9}}{{x}^{9}}+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$, hãy tìm hệ số ${{a}_{k}}$ lớn nhất ($0\le k\le 10$).

: Trong khai triển của ${{(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x)}^{10}}$ thành đa thức

${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{9}}{{x}^{9}}+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$, hãy tìm hệ số ${{a}_{k}}$ lớn nhất ($0\le k\le 10$).

C. ${{a}_{10}}=3003\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

B. ${{a}_{5}}=3003\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

C. ${{a}_{4}}=3003\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

D. ${{a}_{9}}=3003\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}x \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{15-k}}{{\left( \frac{2}{3}x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}\frac{{{2}^{k}}}{{{3}^{15}}}{{x}^{k}}}}$

Hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{a}_{k}}=\frac{1}{{{3}^{^{15}}}}C_{15}^{k}{{2}^{k}}$

Ta có: ${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}{{2}^{k-1}}<C_{15}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}<2C_{15}^{k}$

$\Leftrightarrow k<\frac{32}{3}\Rightarrow k\le 10.$ Từ đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{10}}$

Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:

${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow k>\frac{32}{3}\Rightarrow {{a}_{10}}>{{a}_{11}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: ${{a}_{10}}=\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}C_{15}^{10}=3003\frac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$.