: Tìm hệ số không chứa $x$ trong các khai triển sau ${{({{x}^{3}}-\frac{2}{x})}^{n}}$, biết rằng $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78$ với $x>0$

: Tìm hệ số không chứa $x$ trong các khai triển sau ${{({{x}^{3}}-\frac{2}{x})}^{n}}$, biết rằng $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78$ với $x>0$

C. -112640

B. 112640

C. -112643

D. 112643

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-1)!1!}+\frac{n!}{(n-2)!2!}=78$

$\Leftrightarrow n+\frac{n(n-1)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: $f(x)={{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{36-4k}}}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $k:36-4k=0\Rightarrow k=9$

Số hạng không chứa $x$ là: ${{(-2)}^{9}}C_{12}^{9}=-112640$