by Trong các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right|\). Số phức có mô đun nhỏ nhất là:
A. \(z=3+4i\)
B. \(z=-3-4i\)
C. \(z=\frac{3}{2}-2i\)
D. \(z=\frac{3}{2}+2i\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(a,b\).
Tìm GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Rightarrow a,b\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:
\(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)
\(\left| \overline{z}-3+4i \right|=\left| a-bi-3+4i \right|=\left| a-3+(4-b)i \right|=\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z – 3 + 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a – 3} \right)}^2} + {{\left( {4 – b}\right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} – 6a + 9 + {b^2} – 8b + 16\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 6a+8b=25\Leftrightarrow b=\frac{25-6a}{8}(1)\)
Xét \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{25-6a}{8}\right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{100{{a}^{2}}-300a+625}{64}}=\sqrt{\frac{{{\left( 10a-15\right)}^{2}}+400}{64}}\ge \frac{5}{2}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow 10a-15=0\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)
Thay vào (1) ta được \(b=2\)
Vậy số phức \(z\) có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bài toán là \(z=\frac{3}{2}+2i\)
Chọn D
