Biết \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( {1 + 2i} \right)z + \left( {3 – 4i} \right)\overline z = – 42 – 54i\). Khi đó \(a + b\) bằng

Biết \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( {1 + 2i} \right)z + \left( {3 – 4i} \right)\overline z = – 42 – 54i\). Khi đó \(a + b\) bằng

A. 27

B. -3

C. 3

D. -27

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a – bi\). Thay vào phương trình.

– Sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a – bi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( {1 + 2i} \right)z + \left( {3 – 4i} \right)\overline z = – 42 – 54i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {3 – 4i} \right)\left( {a – bi} \right) = – 42 – 54i\\ \Leftrightarrow \left( {4a – 6b} \right) + \left( { – 2a – 2b} \right)i = – 42 – 54i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a – 6b = – 42\\ – 2a – 2b = – 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 27\end{array}\)

Chọn A.