Trên đoạn $AD$ cố định dựng hình bình hành $ABCD$ sao cho $\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AB}$. Tìm quỹ tích đỉnh $C$.

C. Đường tròn tâm $A$, bán kính là $AB\sqrt{3}$.

B. Đường tròn tâm $A$, bán kính là $AC$.

C. Đường tròn tâm $A$, bán kính là $AD$.

D. Đường tròn tâm $A$, bán kính là $AD\sqrt{2}$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.

Cố định $D\left( 1;0 \right)$. Với $B\left( x;y \right)\Rightarrow C\left( x+1;y \right)$

Từ giả thiết $AC.AB=AD.BD$

$\begin{align}

& \Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \\

& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x \right)=1-2x \\

& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x \right)-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x=1-2x \\

\end{align}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-1 \right)=0$ (do ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1>0$).

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\,\,\,(1)$.

Suy ra quỹ tích $B$ là đường tròn tâm $I$ , bán kính $\sqrt{2}$ ($I$ là điểm đối xứng của $D$ qua $A$)

Ta có ${{T}_{\overrightarrow{BC}}}\left( B \right)=C$

Vậy quỹ tích của $C$ là đường tròn tâm $A$ , bán kính $AD\sqrt{2}$ .