by Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x\sqrt {2 – {x^2}} }}{{{x^2} + x – 2}}\) là
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(4\)
D. \(3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tìm TXĐ của hàm số.
– Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).
+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\).
+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2 – {x^2} \ge 0\\{x^2} + x – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Do đó hàm số không có tiệm cận ngang (do không thể tồn tại giới hạn khi x tiến ra vô cực).
Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x\sqrt {2 – {x^2}} }}{{{x^2} + x – 2}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x\sqrt {2 – {x^2}} }}{{{x^2} + x – 2}} = – \infty \end{array} \right.\).
(Ta không xét giới hạn của hàm số khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ – }\) do \(x = 2\) không thuộc TXĐ của hàm số).
Do đó \(x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Chọn A.
