Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\), có bảng biến thiên như sau: Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\), có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Dựa vào định ngĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

– Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\).

– Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty \).

Đặt \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = – \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = – \frac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = \frac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\) \( \Rightarrow x = – 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\), dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn khác \( – 1\).

Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) có 2 TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn A.