Tính tích phân \(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{\sin x – \cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx} \)

Tính tích phân \(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{\sin x – \cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx} \)

A. \(I = \ln {6 \over {\sqrt 2 + \sqrt 6 }}\)

B. \(I = \ln {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 6}\)

C. \(I = \ln {4 \over {\sqrt 2 + \sqrt 6 }}\)

D. \(I = \ln {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 4}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x – \sin x} \right)dx,\) đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = {\pi \over 6} \Rightarrow t = {{1 + \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr x = {\pi \over 4} \Rightarrow t = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{{{1 + \sqrt 3 } \over 2}}^{\sqrt 2 } {{{ – dt} \over t}} = \left. { – \ln \left| t \right|} \right|_{{{1 + \sqrt 3 } \over 2}}^{\sqrt 2 } = – \ln \sqrt 2 + \ln {{1 + \sqrt 3 } \over 2} = \ln {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} = \ln {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 4}\)

Chọn D.