Giả sử \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx} = a\pi + b\ln 2\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \({a \over b}\).

Giả sử \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx} = a\pi + b\ln 2\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \({a \over b}\).

A. \({1 \over 4}\)

B. \({3 \over 8}\)

C. \({1 \over 2}\)

D. \({3 \over 4}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Tách \(\cos x = {1 \over 2}\left( {\cos x + \sin x + \cos x – \sin x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx} = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos x + \sin x + \cos x – \sin x} \over {\sin x + \cos x}}dx} \cr & = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {dx} + {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)’} \over {\sin x + \cos x}}dx} = {1 \over 2}.{\pi \over 4} + \left. {{1 \over 2}\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{{\pi \over 4}} \cr & = {\pi \over 8} + {1 \over 2}\ln \sqrt 2 = {\pi \over 8} + {1 \over 4}\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = {1 \over 8} \hfill \cr b = {1 \over 4} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {a \over b} = {{{1 \over 8}} \over {{1 \over 4}}} = {1 \over 2} \cr} \)

Chọn C.