Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)

A. \({{16} \over 9}\)

B. \( – {{16} \over 9}\)

C. \({{52} \over 9}\)

D. \( – {{52} \over 9}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {x^3} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr x = 2 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr} \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^3 {{{2{t^2}} \over 3}dt} = \left. {{2 \over 3}.{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^3 = 6 – {2 \over 9} = {{52} \over 9}\)

Chọn C.