by Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \right)dx}=a\ln 2+b\ln 3\) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(a+b=2\)
B. \(a-2b=0\)
C. \(a+b=-2\)
D. \(a+2b=0\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| – \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_0^1 = \ln \frac{2}{3} – \ln \frac{1}{2} = \ln 2 – \ln 3 + \ln 2 = 2\ln 2 – \ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 2 – 2 = 0\end{array}\)
Chọn D.
