by Tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = a + b\ln 2 + c\ln 3\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = {a^3} + 3{b^2} + 2c\) là:
A. \(19\)
B. \(21\)
C. \(22\)
D. \(20\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Xét dấu biểu thức \(\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}\) sau đó chia các khoảng để phá trị tuyệt đối.
– Sử dụng phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ khi bậc tử > bậc mẫu (chia tử cho mẫu).
– Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Ta có bảng xét dấu:
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}} \right|dx} + \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}} \right|dx} \\\,\,\,\, = – \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}dx} + \int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 1}}dx} \\\,\,\,\, = – \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( {x – \frac{2}{{x – 1}}} \right)dx} + \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {x – \frac{2}{{x – 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\, = – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2\ln \left| {x – 1} \right|} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2\ln \left| {x – 1} \right|} \right)} \right|_{ – 1}^0\\\,\,\,\, = – \left( {\frac{1}{2} – 2\ln 2} \right) + \left( {2 – 2\ln 3} \right) – \left( {\frac{1}{2} – 2\ln 2} \right)\\\,\,\,\, = 1 + 4\ln 2 – 2\ln 3\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 4,\,\,c = – 2\end{array}\)
Vậy \(T = 2{a^3} + 3b – 4c = {2.1^3} + 3.4 – 4\left( { – 2} \right) = 22\).
Chọn C.
