by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {6x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^6 {{x^2}f’\left( x \right)dx} \) bằng
A.
\(\frac{{107}}{3}\)
B. \(34\)
C. \(24\)
D. \( – 36\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = 6x \Rightarrow dt = 6dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{6}\).
Khi đó \(1 = \int\limits_0^1 {xf\left( {6x} \right)dx} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{6}t.f\left( t \right).\frac{{dt}}{6}} = \frac{1}{{36}}\int\limits_0^6 {t.f\left( t \right)dt} \) \( \Rightarrow \int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx} = 1.36 = 36\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = u\\f’\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^6 {{x^2}f’\left( x \right)dx} = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^6 – \int\limits_0^6 {2xf\left( x \right)dx} = 36f\left( 6 \right) – 2\int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx} = 36.1 – 2.36 = – 36\).
Chọn D.
