by Tính môđun của số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z\left| z \right| – 1 = \left( {i – 2} \right)\left| z \right|\).
A. \(\left| z \right| = 1\)
B. \(\left| z \right| = 4\)
C. \(\left| z \right| = 2\)
D. \(\left| z \right| = 3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
+) Đặt \(t = \left| z \right|\), rút \(z\) từ đẳng thức bài cho theo \(t\) .
+) Lấy môđun hai vế đưa về phương trình ẩn \(t\).
+) Giải phương trình ẩn \(t\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \left| z \right| \ge 0\) ta có : \(\left( {1 + i} \right)zt – 1 = \left( {i – 2} \right)t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + i} \right)zt = 1 + \left( {i – 2} \right)t \Rightarrow \left| {1 + i} \right|.\left| z \right|.t = \left| {1 – 2t + ti} \right|\\ \Rightarrow \sqrt 2 {t^2} = \sqrt {{{\left( {1 – 2t} \right)}^2} + {t^2}} \Leftrightarrow 2{t^4} = 1 – 4t + 4{t^2} + {t^2}\\ \Leftrightarrow 2{t^4} – 5{t^2} + 4t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {2{t^3} + 2{t^2} – 3t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^3} + 2{t^2} – 3t + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 2{t^2} – 3t + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có:
\(f’\left( t \right) = 6{t^2} + 4t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 2 + \sqrt {22} }}{6} = {t_1} > 0\\t = \frac{{ – 2 – \sqrt {22} }}{6} < 0\left( L \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) > 0,\forall t \ge 0\) nên phương trình \(f\left( t \right) = 0\) vô nghiệm.
Vậy \(t = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\).
Chọn A
