Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 5\) và \(z\left( {2 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)\) là số thực. Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right|\).

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 5\) và \(z\left( {2 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)\) là số thực. Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right|\).

A. \(P = 8\)

B. \(P = 4\)

C. \(P = 5\)

D. \(P = 7\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

+) \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

+) \(w = x + yi\) là số thực \( \Leftrightarrow y = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\left| z \right| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 25\).

Ta có: \(z\left( {2 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right) = \left( {a + bi} \right)\left( {4 – 3i} \right) = 4a + 3b + \left( { – 3a + 4b} \right)i\) là số thực \( \Rightarrow – 3a + 4b = 0\).

Từ đó ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\ – 3a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + \frac{9}{{16}}{a^2} = 25\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{16}}{a^2} = 25\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4,\,\,b = 3\\a = – 4;\,\,b = – 3\end{array} \right. \Rightarrow P = \left| a \right| + \left| b \right| = 4 + 3 = 7\end{array}\)

Chọn D.