by Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} – x\) và đồ thị hàm số \(y = x – {x^2}\).
A. \(S = \frac{{81}}{{12}}\)
B. \(S = 13\)
C. \(S = \frac{9}{4}\)
D. \(S = \frac{{37}}{{12}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Giải phương trình hoành độ giao điểm.
– Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\),\(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} .\)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} – x = x – {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 2\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} – x\) và \(y = x – {x^2}\) là
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 2x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} – 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} – 2x} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\, = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\)
Chọn D.
