by Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} – 6} \right)x + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1.\)
A. \(m = – 4.\)
B. \(m = – 2.\)
C. \(m = 2.\)
D. \(m = 1.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} – 6} \right)x + 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = 3m{x^2} + 2x + {m^2} – 6\\ \Rightarrow y” = 6mx + 2\end{array}\)
Hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} – 6} \right)x + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 1 \right) = 0\\y”\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 2 + {m^2} – 6 = 0\\6m + 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m – 4 = 0\\m > – \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 4\end{array} \right.\\m > – \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)
Chọn D.
