by Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}\) có đúng 3 đường tiệm cận.
A. \(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
m < – 2
\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
\left[ \begin{array}{l}
m < – 2\\
m \ne – \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{align} & m>2 \\ & m<-2 \\\end{align} \right.\)
D. \(-2<m<2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
+) Chứng minh đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 bằng cách tính \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y\).
+) Đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng 2 đường TCĐ \(\Leftrightarrow \) phương trình mẫu có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình tử.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{m}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\Rightarrow \) Đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 với mọi giá trị của m.
Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 2 đường tiệm cận đứng
\(\Leftrightarrow \) phương trình \({{x}^{2}}-mx+1=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} – 4 > 0\\
{2^2} – 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < – 2
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
m < – 2
\end{array} \right.\)
Chọn A.
