by Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + 2m – 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
A. \(m \le 2\)
B. \(m > – 2\)
C. \(m < 2\)
D. \(m \ge – 2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Áp dụng lý thuyết về tính đồng biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + 2m – 5 \Rightarrow y’ = {x^2} – 4x + m + 5\) với \(\Delta {‘_{y’}} = – m – 1\)
– Nếu \(m \ge – 1 \Rightarrow – m – 1 \le 0 \Rightarrow \Delta {‘_{y’}} \le 0 \Rightarrow y’ \ge 0\forall x\)
Khi đó hàm số đồng biến trên R hay hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
– Nếu \(m < – 1 \Rightarrow – m – 1 > 0 \Rightarrow \Delta {‘_{y’}} > 0\). Khi đó phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)
Ta có bảng biến thiên của y:
Hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_2} \le 3 \Leftrightarrow 2 + \sqrt { – m – 1} \le 3 \Leftrightarrow \sqrt { – m – 1} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le – m – 1 \le 1 \Leftrightarrow – 2 \le m \le – 1\)
Kết hợp nghiệm ta có \(m \in \left[ { – 2; – 1} \right] \cup \left[ { – 1; + \infty } \right) = \left[ { – 2; + \infty } \right)\) hay \(m \ge – 2\).
Chọn D.
