by Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x – m – \sqrt {9 – {x^2}} = 0\) có đúng 1 nghiệm?
A. \(m \in \left( { – 3;3} \right]\)
B. \(m \in \left[ { – 3;3} \right] \cup \left\{ { – 3\sqrt 2 } \right\}\)
C. \(m \in \left[ {0;3} \right]\)
D. \(m = -3\sqrt 2 \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Tìm ĐKXĐ.
– Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.
– Khảo sát và lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(9 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow – 3 \le x \le 3\).
Ta có: \(x – m – \sqrt {9 – {x^2}} = 0 \Leftrightarrow x – \sqrt {9 – {x^2}} = m\,\,\left( * \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x – \sqrt {9 – {x^2}} \) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.
Xét hàm số \(y = x – \sqrt {9 – {x^2}} \) với \( – 3 \le x \le 3\) ta có \(y’ = 1 + \frac{x}{{\sqrt {9 – {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {9 – {x^2}} + x}}{{\sqrt {9 – {x^2}} }}\).
Cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 – {x^2}} + x = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {9 – {x^2}} = – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – x \ge 0\\9 – {x^2} = {x^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x = \pm \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi \(m = – 3\sqrt 2 \).
Vậy \(m = – 3\sqrt 2 \).
Chọn D.
