Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên: Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f\left( {3 – {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f\left( {3 – {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm?

A. \(m \ge 3\)

B. \(m > – 2\)

C. \(m \le 3\)

D. \(m > 3\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Đặt \(t = 3 – {x^2}\), đưa bất phương trình đã cho về dạng \(f\left( t \right) \le m\).

– Tìm điều kiện cho ẩn \(t\), dựa vào BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 – {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 – {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { – \infty ;3} \right].\)

Bất phương trình \(f\left( {3 – {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { – \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { – \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

Chọn D.