by Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(m\sqrt {{x^2} + 2} = x + m\) có 2 nghiệm phân biệt
A. \( – \sqrt 2 < m < 0\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < m < – 1\\1 < m < \sqrt 2 \end{array} \right.\)
C. \( – 1 < m < 1\)
D. \( – \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).
– Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
– Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của m.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,m\sqrt {{x^2} + 2} = x + m\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} + 2} – 1} \right) = x\\ \Leftrightarrow m = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} – 1}} = f\left( x \right)\,\,\,\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{2 – \sqrt {{x^2} + 2} }}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hàm số đã cho có 2 nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < m < – 1\\1 < m < \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Chọn B.
