by : Tìm hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức $f(x)={{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$
C. 213
B. 230
C. 238
D. 214
Hướng dẫn
Chọn C
Cách 1
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}+C_{8}^{1}{{x}^{2}}\left( 1-x \right)+C_{8}^{2}{{x}^{4}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}+C_{8}^{3}{{x}^{6}}{{\left( 1-x \right)}^{3}}$
$+C_{8}^{4}{{x}^{8}}{{\left( 1-x \right)}^{4}}+C_{8}^{5}{{x}^{10}}{{\left( 1-x \right)}^{5}}…+C_{8}^{8}{{x}^{16}}{{\left( 1-x \right)}^{8}}$
Trong khai triển trên ta thấy bậc của $x$ trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của $x$ trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó ${{x}^{8}}$ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: $C_{8}^{3}.C_{3}^{2},\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$.
Vậy hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức ${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$ là:
${{a}_{8}}=C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.
Cách 2: Ta có:
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}{{x}^{2n}}{{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{2n+}}^{k}}$
với $0\le k\le n\le 8$.
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $2n+k=8\Rightarrow k=8-2n$ là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được $k=0;n=4$ và $k=2,\,n=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là $C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.
