by Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) bằng:
A. \(\frac{{84}}{4}\)
B. \(15\)
C. \(\frac{{51}}{4}\)
D. \(8\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Tính \(f’\left( x \right)\), giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) và xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).
– Tính \(f\left( {\frac{1}{2}} \right),\,\,f\left( 2 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).
– Kết luận: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {\frac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {\frac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).
Ta có \(y’ = 2x – \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2\left( {{x^3} – 1} \right)}}{{{x^2}}}\), \(y’ = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).
Ta có \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4};\,\,y\left( 2 \right) = 5,\,\,y\left( 1 \right) = 3\).
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 5,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 3\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y.\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = 5.3 = 15\).
Chọn B.
