by Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{x + 2}}\) trên đoạn\(\left[ {0;3} \right]\) bằng
A. \(0\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{3}{2}\).
D. \(\frac{4}{5}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:
– Tìm các điểm \({x_1};{x_2};…;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
– Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)
– So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết:
\(y = \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{x + 2}}\), \(x \in \left[ {0;3} \right]\)
Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {2x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x – 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x = – 5 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\), có: \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{2},y\left( 1 \right) = 0,\,y\left( 3 \right) = \frac{4}{5}\,\,.\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \frac{4}{5}\).
Chọn D.
