Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) bằng:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) bằng:

A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = – 1\)

B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = 1\)

C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = \frac{1}{2}\)

D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = – 3\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) ta có:

\(y’ = \frac{{1 + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\,\,3} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {0;\,\,3} \right].\)

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = y\left( 0 \right) = – 1.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = – 1.\)

Chọn A.