by Tập nghiệm của phương trình \({z^4} – {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức là:
A. \(\left\{ {1 \pm i; – \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}} \right\}\)
B. \(\left\{ { – 1 \pm i; – \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}} \right\}\)
C. \(\left\{ {1 \pm i;\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}} \right\}\)
D. \(\left\{ { – 1 \pm i;\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}} \right\}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Lời giải chi tiết:
\({z^4} – {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) (1)
+) Với \(z = 0\) thì \(1 = 0\) ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\) không là nghiệm của phương trình (1)
+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:
\(\left( {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) – \left( {z – \frac{1}{z}} \right) + \frac{1}{2} = 0{\text{ }}(2)\)
Đặt \(t = z – \frac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} – 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)
Phương trình (2) có dạng: \({t^2} – t + \frac{5}{2} = 0\)(3)
Ta có: \(\Delta = 1 – 4.\frac{5}{2} = – 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \frac{{1 + 3i}}{2};t = \frac{{1 – 3i}}{2}\)
+) Nếu \(t = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z – \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} – (1 + 3i)z – 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} = – \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\)
+) Nếu \(t = \frac{{1 – 3i}}{2} \Leftrightarrow z – \frac{1}{z} = \frac{{1 – 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} – (1 – 3i)z – 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 – 3i)^2} + 16 = 8 – 6i = {(3 – i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 – i;{z_4} = – \frac{1}{2} – \frac{i}{2}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 – i; – \frac{1}{2} + \frac{i}{2}; – \frac{1}{2} – \frac{i}{2}} \right\}\)
Chọn A
