Tìm số tự nhiên \(x\) để \(D = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.

Tìm số tự nhiên \(x\) để \(D = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.

A. \(x = 4\)

B. \(x = 16\)

C. \(x = 9\)

D. \(x = 10\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

Đầu tiên ta tách biểu thức đã cho về dạng một số nguyên cộng với một phân thức có tử là một số nguyên. Để D là một số nguyên thì phân thức được tách phải là số nguyên hay tử phải chia hết cho mẫu, hay mẫu là ước của tử. từ đó tìm ra \(x\).

Ta có: \(D = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 – 5}}{{\sqrt x + 2}} = 1 – \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\)

Để \(D \in Z\) thì \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\) phải thuộc Z và là ước của 5. Vì \(\left( {\sqrt x + 2} \right) > 0\) nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\sqrt x + 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = – 1\) (vô lý)

Trường hợp 1: \(\sqrt x + 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn).

Vậy để \(D \in Z\) thì \(x = 9\) (khi đó \(D = 0\)).

Chọn C.