Tam giác $ ABC$ có độ dài ba trung tuyến lần lượt là $ 9;\text{ }12;\text{ }15$ . Diện tích của tam giác $ ABC$ bằng:

A. $ 24. $

B. $ 24\sqrt{2}. $

C. $ 72. $

D. $ 72\sqrt{2}. $

Hướng dẫn

Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}

m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=81 \\

m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}=144 \\

m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}=225

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{{a}^{2}}=292 \\

{{b}^{2}}=208 \\

{{c}^{2}}=100

\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}

a=2\sqrt{73} \\

b=4\sqrt{13} \\

c=10

\end{array} \right. $

Ta có: $ \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{208+100-292}{2. 4\sqrt{13}. 10}=\frac{1}{5\sqrt{13}}$

$\sin A=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}=\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{5\sqrt{13}} \right)}^{2}}}=\frac{18\sqrt{13}}{65}. $

Diện tích tam giác $ \Delta ABC: {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}. 4\sqrt{13}. 10. \frac{18\sqrt{13}}{65}=72$