Tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Gọi $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ là độ dài ba đường trung tuyến, $ G$ trọng tâm. Xét các khẳng định sau: $ \left( \text{I} \right)$ . $ m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ . $ \left( \text{II} \right)$ . $ G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\frac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ . Trong các khẳng định đã cho có

Tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Gọi $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ là độ dài ba đường trung tuyến, $ G$ trọng tâm. Xét các khẳng định sau:

$ \left( \text{I} \right)$ . $ m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ .

$ \left( \text{II} \right)$ . $ G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\frac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ .

Trong các khẳng định đã cho có

A. $ \left( \text{I} \right)$ đúng.

B. Chỉ $ \left( \text{II} \right)$ đúng.

C. Cả hai cùng sai.

D. Cả hai cùng đúng.

Hướng dẫn

Hướng dẫn

giải

Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}

m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\

m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \\

m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}

\end{array} \right. $ $ \Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

$ G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\frac{4}{9}\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)=\frac{4}{9}. \frac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=\frac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

Chọn đáp án D.