Tìm góc để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình minh họa. A \(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\) B \(\alpha = {30^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\) C \(\alpha = {60^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\) D \(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}{a^2}\)

Tìm góc để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình minh họa.

A \(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\)

B \(\alpha = {30^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)

C \(\alpha = {60^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)

D \(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}{a^2}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: D

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Lời giải chi tiết:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC \le \frac{1}{2}.\frac{{\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{2} = \frac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC \le \frac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = \frac{1}{4}B{C^2} = \frac{1}{4}{a^2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AC = AB\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông cân \( \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}\) hay \(\alpha = {45^0}\).

Vậy \({S_{ABCmax}} = \frac{1}{4}{a^2}\) khi \(\alpha = {45^0}.\)

Chọn D.