by Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} – \left( {1 – m} \right)x + 2m} }}\) có 3 tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) là
A. \(0\)
B. \(3\)
C. \(2\)
D. \(1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)
Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge – 1\\{x^2} – \left( {1 – m} \right)x + 2m > 0\end{array} \right..\)
Ta có: \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} – \left( {1 – m} \right)x + 2m} }}\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} – \left( {1 – m} \right)x + 2m} }}\)\(\left( {x \ge – 1} \right)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0.\)
Do đó để hàm số có 3 đường tiệm cận thì hàm số phải có 2 tiệm cận đứng
\( \Rightarrow {x^2} – \left( {1 – m} \right)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn \( – 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\{x_1} + 1 + {x_2} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – m} \right)^2} – 8m > 0\\{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} + 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – m} \right)^2} – 8m > 0\\2m + 1 – m + 1 > 0\\1 – m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – 2m + {m^2} – 8m > 0\\m + 2 > 0\\m < 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 10m + 1 > 0\\m > – 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 6 \\m < 5 – 2\sqrt 6 \end{array} \right.\\ – 2 < m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 < m < 5 – 2\sqrt 6 \\ \Rightarrow m \in \left\{ { – 1;0} \right\}\end{array}\)
Lại có: \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 1;\,\,0} \right\}.\)
Chọn C.
