by Phương trình \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} – 2iz – 1} \right) = 0\) có mấy nghiệm phức phân biệt?
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Lời giải chi tiết:
\(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} – 2iz – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + i = 0\\{z^2} – 2iz – 1 = 0\end{array} \right.\)
+) Phương trình \({z^2} + i = 0 \Rightarrow {z^2} = – i \Rightarrow \) z là một căn bậc hai của \(-i\).
Gọi \(z = a + bi\) là một căn bậc hai của \(-i\) ta có
\(\begin{array}{l}{z^2} = – i \Leftrightarrow {a^2} + 2abi – {b^2} = – i\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 0\\2ab = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = b\\a = – b\end{array} \right.\\2ab = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{a^2} = – 1\,\,\left( {vn} \right)\\2{a^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\a = – \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z = – \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình trên có hai nghiệm.
+) Phương trình: \({z^2}-2iz-1 = 0 \Leftrightarrow {z^2}-2iz + {i^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {z-i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Chọn D
