Tháng Ba 29, 2024

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}\) vàthỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}\) vàthỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là

A. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}.\)

B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).

C. \(F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} – 1.\)

D. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\).

– Thay \(F\left( 0 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).

Lại có \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^0}}}{2} + C = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\).

Vây \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).

Chọn B.