Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}\) vàthỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là
A. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).
C. \(F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} – 1.\)
D. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\).
– Thay \(F\left( 0 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Lại có \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^0}}}{2} + C = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\).
Vây \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).
Chọn B.