by Nếu biết các nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}~+\text{ }px+\text{ }q=0$ là lập phương các nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+mx+n=0$. Thế thì:
A. $p+q={{m}^{3}}. $
B. $p={{m}^{3}}+3mn. $
C. $p={{m}^{3}}-3mn. $
D. Một đáp số khác.
Hướng dẫn
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+mx+n=0$ Khi đó, $x_{1}^{3},x_{2}^{3}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}~+\text{ }px+\text{ }q=0$ Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=n \end{array} \right. $ và $\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=-p \\ x_{1}^{3}x_{2}^{3}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m\left( {{m}^{2}}-3n \right)=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p={{m}^{3}}-3mn \\ q={{n}^{3}} \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.
