Một sóng ngang truyền trên sợi dây đủ dài với bước sóng 60 cm. Khi chưa có sóng truyền qua, gọi M và N là hai điểm gắn với hai phần tử trên dây cách nhau 85 cm. Hình bên là hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây khi có sóng truyền qua ở thời điểm t, trong đó điểm M đang dao động về vị trí cân bằng. Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Gọi t + ∆t là thời điểm gần t nhất mà khoảng cách giữa M và N đạt giá trị lớn nhất (với ∆t > 0). Diện tích hình thang tạo bởi M, N ở thời điểm t và M, N thời điểm t + ∆t gần nhất với kết quả nào sau đây?

Một sóng ngang truyền trên sợi dây đủ dài với bước sóng 60 cm. Khi chưa có sóng truyền qua, gọi M và N là hai điểm gắn với hai phần tử trên dây cách nhau 85 cm. Hình bên là hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây khi có sóng truyền qua ở thời điểm t, trong đó điểm M đang dao động về vị trí cân bằng. Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Gọi t + ∆t là thời điểm gần t nhất mà khoảng cách giữa M và N đạt giá trị lớn nhất (với ∆t > 0). Diện tích hình thang tạo bởi M, N ở thời điểm t và M, N thời điểm t + ∆t gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 2230 cm$^2$.

B. 2560 cm$^2$.

C. 2165 cm$^2$.

D. 2315 cm$^2$.

Hướng dẫn

Độ lệch pha theo tọa độ: $\Delta \varphi =\frac{2\pi d}{\lambda }$

Sử dụng vòng tròn lượng giác

Sử dụng chức năng SHIFT+SOLVE trong máy tính bỏ túi để giải phương trình

Hai điểm có khoảng cách lớn nhất khi chúng đối xứng qua trục Oy Diện tích hình thang: $S=\frac{\left( \left| {{x}_{2M}}-{{x}_{1M}} \right|+\left| {{x}_{2N}}-{{x}_{1N}} \right| \right)\cdot d}{2}$

Cách giải:

Tại thời điểm t, điểm M đang đi lên → sóng truyền từ N tới M

→ Điểm N sớm pha hơn điểm M → điểm N đang đi xuống

Độ lệch pha giữa hai điểm M, N là:

$\Delta \varphi =\frac{2\pi d}{\lambda }=\frac{2\pi .85}{60}=\frac{17\pi }{6}=2\pi +\frac{5\pi }{6}(\text{rad})$

Hai điểm M, N có khoảng cách lớn nhất khi chúng đối xứng qua trục Oy Ta có vòng tròn lượng giác:

Từ vòng tròn lượng giác ta thấy:

${{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{3}(\text{rad})$

$\Rightarrow \arcsin \frac{7}{A}+\arccos \frac{14}{A}=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow A\approx 17,35(~\text{cm})$

Ở thời điểm t + ∆t, hai điểm M, N đối xứng qua trục Oy, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{2N}} = A\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{6}} \right) \approx – 16,76(\;{\rm{cm}})}\\ {{x_{2M}} = A\cos \frac{\pi }{{12}} \approx 16,76(\;{\rm{cm}})} \end{array}} \right.$

Diện tích hình thang tạo bởi M, N ở thời điểm t và M, N thời điểm t + ∆t là:

$S=\frac{\left( \left| {{x}_{2M}}-{{x}_{1M}} \right|+\left| {{x}_{2N}}-{{x}_{1N}} \right| \right)\cdot d}{2}$ $ = \frac{{(|16,76 – ( – 7)| + | – 16,76 – 14|) \cdot 85}}{2} = 2317,1\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Diện tích S có giá trị gần nhất là 2315 cm$^2$

Chọn D.