by Một sóng cơ truyền trên sợi dây dài, nằm ngang, dọc theo chiều dương của trục Ox với tốc độ truyền sóng là v và biên độ không đổi. Tại thời điểm ${{t}_{0}}=0,$ phần tử tại O bắt đầu dao động từ vị trí cân bằng theo chiều âm của trục Ou. Tại thời điểm t1 = 0,3 s hình ảnh của một đoạn dây như hình vẽ. Khi đó vận tốc dao động của phần tử tại D là ${{v}_{D}}=\frac{\pi }{8}v$ và quãng đường phần tử E đã đi được là 24 cm. Biết khoảng cách cực đại giữa hai phần tử C, D là 5cm. Phương trình truyền sóng là
A. $u=cos\left( \frac{40\pi }{3}t-\frac{\pi x}{3}-\frac{\pi }{2} \right)cm$(x tính bằng cm; t tính bằng s).
B. $u=cos\left( 20\pi t-\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi }{2} \right)cm$(x tính bằng cm; t tính bằng s).
C. $u=3\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi x}{12}+\frac{\pi }{2} \right)cm$(x tính bằng cm; t tính bằng s).
D. $u=3\cos \left( \frac{40\pi }{3}t-\frac{\pi x}{12}-\frac{\pi }{2} \right)cm$(x tính bằng cm; t tính bằng s).
Hướng dẫn
Phương pháp:
Thời điểm đầu tiên sóng bắt đầu từ 0 nên: ${{u}_{O}}=A.\cos \left( \omega t+\frac{\pi }{2} \right)cm$
Sau thời gian t = 0,3s, sóng có dạng như hình vẽ, điểm O lại đang ở VTCB và chuyển động về biên âm nên: $t=0,3s=nT$
Dễ thấy từ 0 đến E là một bước sóng ứng với 6 ô li, nên sóng truyền từ 0 đến E mất thời gian 1 chu kì T. Vì vậy quãng đường mà E đi được trong thời gian trên là: $S=\left( n-1 \right).4A$
Hai điểm C và D đều đang cách đỉnh sóng một khoảng nửa ô li nên biên độ của D là ${{x}_{D}}=\frac{\sqrt{3}}{2}A$ và vận tốc của D lúc đó là ${{v}_{D}}=\frac{1}{2}{{v}_{max}}=\frac{1}{2}.\omega A$
Vận tốc sóng $v=\lambda .f$
Khoảng cách giữa vtcb của C và D ứng với 1 ô li, khoảng cách giữa C và D là: $CD=\sqrt{{{d}^{2}}+{{\left( {{u}_{C}}-{{u}_{D}} \right)}^{2}}}$
Lời giải:
Thời điểm đầu tiên sóng bắt đầu từ O nên: ${{u}_{O}}=A.\cos \left( \omega t+\frac{\pi }{2} \right)cm$
Sau thời gian t = 0,3s, sóng có dạng như hình vẽ, điểm O lại đang ở vtcb và chuyển động về biên âm nên: $t=0,3s=nT$
Dễ thấy từ O đến E là một bước sóng ứng với 6 ô li, nên sóng truyền từ O đến E mất thời gian 1 chu kì T. Vì vậy quãng đường mà E đi được trong thời gian trên là: $S=\left( n-1 \right).4A$
Hai điểm C và D đều đang cách đỉnh sóng một khoảng nửa ô li nên biên độ của D là ${{x}_{D}}=\frac{\sqrt{3}}{2}A$ và vận tốc của D lúc đó là:
$\begin{array}{l} {v_D} = \frac{1}{2}{v_{max}} = \frac{1}{2}\omega .A\\ \Rightarrow \frac{1}{2}\omega A = \frac{\pi }{8}v = \frac{\pi }{8}.\lambda .f\\ = \frac{\pi }{8}.\lambda .\frac{\omega }{{2\pi }} \Rightarrow \lambda = 8A \end{array}$
Ta có VTLG:
Khoảng cách giữa VTCB của C và D ứng với 1 ô li tức là $CD=\frac{\lambda }{6}$ và $\alpha =\frac{\pi }{3},$
Khoảng cách giữa hai điểm C và D là: $CD=\sqrt{{{d}^{2}}+{{\left( {{u}_{C}}-{{u}_{D}} \right)}^{2}}}$
Khoảng cách giữa hai điểm C và D cực đại là 5 cm khi $\left( {{u}_{C}}-{{u}_{D}} \right)$ cực đại.
Ta có ${{u}_{C}}-{{u}_{D}}=A.\cos \left( \omega t-\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow {{\left( {{u}_{C}}-{{u}_{D}} \right)}_{\max }}=A$
$\begin{array}{l} CD = \sqrt {{d^2} + {{\left( {{u_C} – {u_D}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow 5 = \sqrt {{{\left( {\frac{\lambda }{6}} \right)}^2} + {{\left( {{u_C} – {u_D}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{8A}}{6}} \right)}^2} + {A^2}} \Rightarrow A = 3cm\\ \Rightarrow \lambda = 8A = 24cm \end{array}$
Ta có: $S=\left( n-1 \right).4A=24\Rightarrow n=3$
Lại có: $t=0,3s=3T\Rightarrow T=0,1s\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\pi \left( rad/s \right)$
Vậy ta có phương trình truyền sóng là:
$u=3.\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi x}{24} \right)=3.\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi x}{12} \right)cm$
Chọn C
