by Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\) là
A. \(3\ln \left( {x – 1} \right) – \frac{2}{{x – 1}} + C\).
B. \(3\ln \left( {x – 1} \right) + \frac{1}{{x – 1}} + C\).
C. \(3\ln \left( {x – 1} \right) – \frac{1}{{x – 1}} + C\).
D. \(3\ln \left( {x – 1} \right) + \frac{2}{{x – 1}} + C\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức nguyên hàm \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) và \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \ln \left| {ax + b} \right| + C\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{3x – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} } \)\( = \int {\frac{{3\left( {x – 1} \right) + 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \int {\left[ {\frac{3}{{x – 1}} + \frac{2}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}} \right]{\rm{d}}x} } \)\( = 3\ln \left| {x – 1} \right| – \frac{2}{{x – 1}} + C\)
Xét trên khoảng \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\)ta có \(\left| {x – 1} \right| = x – 1\) nên:
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{3x – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} } \)\( = 3\ln \left( {x – 1} \right) – \frac{2}{{x – 1}} + C\).
Chọn A.
