. Hệ số lớn nhất trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{10}}$ là

.

Hệ số lớn nhất trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{10}}$ là

C. $C_{10}^{5}$.

B. $128$.

C. $15360$.

D. $C_{10}^{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có ${{a}_{k}}={{2}^{10-k}}C_{10}^{k}$ với$k=0,1,2,…,10$. Bài toán tương đương với tìm$k\in \left\{ 0,1,2,…,10 \right\}$ sao cho${{a}_{k}}$ lớn nhất. Xét bất phương trình sau:

$\begin{align}

& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow {{2}^{10-k}}C_{10}^{k}\le {{2}^{9-k}}C_{10}^{k+1}\Leftrightarrow 2\frac{10!}{k!\left( 10-k \right)!}\le \frac{10!}{\left( k+1 \right)!\left( 9-k \right)!} \\

& \Leftrightarrow 2\left( k+1 \right)\le 10-k\Leftrightarrow k\le \frac{8}{3}\Leftrightarrow k\in \left\{ 0,1,2 \right\} \\

\end{align}$

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}

& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0;1;2 \right\} \\

& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\frac{8}{3},k\notin N \\

& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 3;4;….10 \right\} \\

\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}>{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>…>{{a}_{10}}$ hay ${{a}_{3}}$ là hệ số lớn nhất cần tìm. ${{a}_{3}}=C_{10}^{3}{{.2}^{7}}=15360.$