Hàm số $y=4{{\cot }^{2}}2x-\frac{\sqrt{3}\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}{\tan x}$ đạt giá trị nhỏ nhất là

Hàm số $y=4{{\cot }^{2}}2x-\frac{\sqrt{3}\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}{\tan x}$ đạt giá trị nhỏ nhất là

C. $0$

B. $3-2\sqrt{3}$

C. $2-2\sqrt{2}$

D. $-1$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$\begin{align}

& \cot 2x=\frac{1-{{\tan }^{2}}x}{2\tan x}\Rightarrow y=3{{\cot }^{2}}2x-\frac{2\sqrt{3}(1-{{\tan }^{2}}x)}{2\tan x}=3{{\cot }^{2}}2x-2\sqrt{3}\cot 2x \\

& ={{(\sqrt{3}{{\cot }^{2}}2x-1)}^{2}}-1\ge -1 \\

\end{align}$

Vậy $\min y=-1\Leftrightarrow \cot 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}$