by Hai nguồn kết hợp S1 và S2 trên mặt nước cách nhau 8cm có phương trình dao động lần lượt là \(u_1 = 2 cos(10 \pi t – \frac{\pi}{4}) (mm)\) và \(u_2 = 2 cos(10 \pi t + \frac{\pi}{4}) (mm)\). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10cm/s. Coi biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Điểm M trên mặt nước cách S1 khoảng S1M = 10cm và S2 khoảng S2M = 6cm. Điểm dao động cực đại trên S2M xa S2 nhất là
A. 3,57cm
B. 2,33cm
C. 3,07cm
D. 6cm
Hướng dẫn
Bước sóng \(\lambda = v/f = 2 cm\)
Xét điểm N trên S2M
\(S_1N = d_1; S_2 N = d_2 (0 \leq d_2 \leq 6 cm)\)
Tam giác S1S2M là tam giác vuông tại S2
Sóng truyền từ S1; S2 đến N:
\(u_{1N} = 2 cos(10 \pi t – \frac{\pi}{4} – \frac{2 \pi d_1}{\lambda }) (mm)\)
\(u_{2N} = 2 cos(10 \pi t + \frac{\pi}{4} – \frac{2 \pi d_2}{\lambda }) (mm)\)
\(u_{N} = 4 cos\left [ \frac{\pi (d_1 – d_2)}{\lambda } – \frac{\pi}{4} \right ] cos \left [ 10 \pi t – \frac{\pi (d_1 + d_2)}{\lambda } \right ]\)
N là điểm có biên độ cực đại:
\(cos\left [ \frac{\pi (d_1 – d_2)}{\lambda } – \frac{\pi}{4} \right ] = \pm 1 —> \left [ \frac{\pi (d_1 – d_2)}{\lambda } – \frac{\pi}{4} \right ] = k \pi\)
\(\frac{d_1 – d_2}{2} – \frac{1}{4} = k —>d_1 – d_2 = \frac{4 k – 1}{2} (1)\)
\(d_1^2 – d_2^2 = S_1S_2^2 = 64 —> d_1+ d_2 = \frac{64}{d_1 – d_2} = \frac{128}{4 k – 1} (2)\)
(2) – (1) Suy ra \(d_2 = \frac{64}{4k – 1} – \frac{4 k – 1}{4} = \frac{256 – (4k – 1)^2 }{4 (4k – 1)}\) k nguyên dương \(\rightarrow 0\leq d_2 \leq 6 —> 0 \leq d_2 = \frac{256 – (4 k – 1)^2}{4 (4k – 1)}\leq 6\)
Đặt X = 4K – 1 ——> \(0\leq \frac{256 – X^2}{4X)} \leq 6 —>X \geq 8 —> 4k – 1 \geq 8 —> k \geq 3\)
Điểm N có biên độ cực đại xa S2 nhất ứng với giá trị nhỏ nhất của k: \(k_{min} = 3\)
Khi đó \(d_2 = \frac{256 – (4k – 1)^2}{4 (4k – 1)} = \frac{256 – 11^2}{44} = 3,068 \approx 3,07 (cm)\)
