by Hai đường thẳng \(d:\,\,y = mx + m\) và \({d_1}:\,\,y = x + 3m + 2n – mn\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {3;9} \right)\). Tính \(m.n\) và \(\frac{m}{n}\)
A \(m.n = -\frac{27}{20}\,\,;\,\,\,\frac{m}{n} = – \frac{15}{4}\)
B \(m.n = -\frac{9}{4}\,\,;\,\,\,\frac{m}{n} = – \frac{3}{5}\)
C \(m.n = -\frac{3}{4}\,\,;\,\,\,\frac{m}{n} = – \frac{9}{2}\)
D \(m.n = -\frac{1}{3}\,\,;\,\,\,\frac{m}{n} = – 4\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
Vì \(d \cap {d_1} = \left\{ I \right\}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}I \in d\\I \in {d_1}\end{array} \right.\). Thay tọa độ điểm \(I\) vào 2 phương trình đường thẳng \(d,\,\,{d_1}\). Giải hệ phương trình tìm \(m,\,\,n\) và tính \(m.n\), \(\frac{m}{n}\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(d \cap {d_1} = \left\{ I \right\}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}I \in d\\I \in {d_1}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 = 3m + m\\9 = 3 + 3m + 2n – mn\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 = 4m\\6 = 3m + 2n – mn\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{4}\\6 = 3.\frac{9}{4} + 2n – \frac{3}{4}n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{4}\\6 = \frac{{27}}{4} + \frac{5}{4}n\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{4}\\\frac{5}{4}n = – \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{4}\\n = – \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
Vậy \(m.n = \frac{9}{4}.\left( { – \frac{3}{5}} \right) = \frac{{ – 27}}{{20}}\) và \(\frac{m}{n} = \frac{9}{4}:\left( { – \frac{3}{5}} \right) = \frac{9}{4}.\left( { – \frac{5}{3}} \right) = – \frac{{15}}{4}\).
Chọn A.
