Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là 4 nghiệm của phương trình: \({z^4} – {z^3} – 2{z^2} + 6z – 4 = 0\) trên tập số phức. Khi đó tổng \(S = \frac{1}{{{z_1}^2}} + \frac{1}{{{z_2}^2}} + \frac{1}{{{z_3}^2}} + \frac{1}{{{z_4}^2}}\) bằng:

Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là 4 nghiệm của phương trình: \({z^4} – {z^3} – 2{z^2} + 6z – 4 = 0\) trên tập số phức. Khi đó tổng \(S = \frac{1}{{{z_1}^2}} + \frac{1}{{{z_2}^2}} + \frac{1}{{{z_3}^2}} + \frac{1}{{{z_4}^2}}\) bằng:

A. \(\frac{5}{4}\)

B. -\(\frac{5}{4}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{7}{4}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4} – {z^3} – 2{z^2} + 6z – 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z – 1} \right)(z + 2)({z^2} – 2z + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z – 1 = 0\\z + 2 = 0\\{z^2} – 2z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = – 2\\{z^2} – 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Phương trình: \({z^2}-2z + 2 = 0\) có \(\Delta ‘ = 1 – 2 = – 1 = {i^2}\)

\( \Rightarrow z = 1 + {\text{ }}i;z = 1-i.\)

Giả sử: \({z_1} = 1;{z_2} = – 2;{z_3} = 1 + i;{z_4} = 1 – i\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{{{z_1}^2}} + \frac{1}{{{z_2}^2}} + \frac{1}{{{z_3}^2}} + \frac{1}{{{z_4}^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{(1 + i)}^2}}} + \frac{1}{{{{(1 – i)}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{2i}} + \frac{1}{{ – 2i}} = \frac{5}{4}\)

Chọn A