by Gọi \(m,\,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{2}x – \sqrt {x + 2} \) trên đoạn \(\left[ { – 1;34} \right]\). Tính tổng \(S = 3m + M\).
A. \(S = \frac{{13}}{2}\)
B. \(S = \frac{{63}}{2}\)
C. \(S = \frac{{25}}{2}\)
D. \(S = \frac{{11}}{2}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tính đạo hàm \(y’\) và tìm nghiệm của phương trình \(y’ = 0\) thuộc \(\left[ { – 1;34} \right]\).
– Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và tại điểm là nghiệm của phương trình \(y’ = 0\) thuộc \(\left[ { – 1;34} \right]\).
– So sánh các giá trị này và kết luận GTNN, GTLN.
Lời giải chi tiết:
TXĐ : \(D = \left[ { – 2; + \infty } \right)\).
Ta có : \(y’ = \frac{1}{2} – \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} = \frac{{\sqrt {x + 2} – 1}}{{2\sqrt {x + 2} }}\).
Cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} – 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 1 \Leftrightarrow x = – 1 \in \left[ { – 1;34} \right]\).
Lại có : \(y\left( { – 1} \right) = – \frac{3}{2},y\left( {34} \right) = 11\) nên \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;34} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = – \frac{3}{2};\,\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;34} \right]} y = y\left( {34} \right) = 11\).
Vậy \(3m + M = 3.\left( { – \frac{3}{2}} \right) + 11 = \frac{{13}}{2}\).
Chọn A.
