Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \(\frac{4z-3-7i}{z-i}=z-2i\)

Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \(\frac{4z-3-7i}{z-i}=z-2i\)

A. \(z=1+2i;z=3-i\)

B. \(z=1-2i;z=3+i\)

C. \(z=1-2i;z=3-i\)

D. \(z=1+2i;z=3+i\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình trở thành phương trình bậc hai.

Giải phương trình bậc hai, kết hợp điều kiện để loại nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \(\frac{4z-3-7i}{z-i}=z-2i\) (điều kiện \(z\ne i\))

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4z – 3 – 7i = (z – 2i)(z – i)\\ \Leftrightarrow 4z – 3 – 7i = {z^2} – iz – 2iz + 2{i^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} – (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0\end{array}\)

Có: \(\Delta ={{\left( 4+3i \right)}^{2}}-4(1+7i)=16+24i+9{{i}^{2}}-4-28i\)

\(=3-4i=4-2.2i+{{i}^{2}}={{\left( 2-i \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{\left( 2-i \right)}^{2}}}=\left| 2-i \right|\)

\(\Rightarrow \) Phương trình có \(2\) nghiệm là: \({{z}_{1}}=\frac{4+3i+2-i}{2}=3+i;{{z}_{2}}=\frac{4+3i-2+i}{2}=1+2i\)(thỏa mãn)

Chọn D