Giải bất phương trình hàm số mũ

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:

1. ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} – 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}.$

2. ${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}.$

Giải

1. Ta có $(\sqrt {10} + 3)(\sqrt {10} – 3) = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {10} – 3 = {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – 1}}.$
Bất phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{x – 1}} < – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} – 10}}{{(x – 1)(x + 3)}} < 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
– 3 < x < – \sqrt 5 \\
1 < x < \sqrt 5
\end{array} \right.$
2. Vì ${x^2} + \frac{1}{2} > 0$ nên ta có các trường hợp sau:
* ${x^2} + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
* $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \frac{1}{2} > 1\\
2{x^2} + x + 1 \ge 1 – x
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
2{x^2} + 2x \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
x > \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.$
* $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \frac{1}{2} < 1\\
2{x^2} + x + 1 \le 1 – x
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
2{x^2} + 2x \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{{\sqrt 2 }} < x \le 0.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \in ( – \infty ; – 1]$ $ \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ${9^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} – {7.3^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x – 1}} \le 2.$

Giải

Bất phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {3.9^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} – {7.3^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} \le 6.$

Đặt $t = {3^{\sqrt {{x^2} – 2{\rm{x}}} – x}}, t > 0$, ta có bất phương trình:
$3{t^2} – 7t – 6 \le 0 \Leftrightarrow t \le 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} – x \le 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} \le x + 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x \ge 0\\
x + 1 \ge 0\\
{x^2} – 2x \le {(x + 1)^2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x \ge 2\\
x \ge – 1\\
x \ge – \frac{1}{4}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le 0$ hoặc $x \ge 2.$

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là $ – \frac{1}{4} \le x \le 0$ hoặc $x \ge 2.$

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình:

1. ${\rm{ }}{(7 + 4\sqrt 3 )^x} – 3{(2 – \sqrt 3 )^x} + 2 \le 0.$

2. ${2.3^{\sqrt x + \sqrt[4]{x}}} + {9^{\sqrt[4]{x} + \frac{1}{2}}} \ge {9^{\sqrt x }}.$

Giải

1. Ta có: $7 + 4\sqrt 3 = {(2 + \sqrt 3 )^2}$ và $(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = 1$ nên đặt $t = {(2 + \sqrt 3 )^x}, t > 0$ ta có  bất phương trình:
${t^2} – \frac{3}{t} + 2 \le 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} + 2t – 3 \le 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)({t^2} + t + 3) \le 0$ $ \Leftrightarrow t \le 1$
$ \Leftrightarrow {(2 + \sqrt 3 )^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.$

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là $x \le 0.$

2. Chia hai vế bất phương trình cho ${9^{\sqrt x }}$ ta được: ${2.3^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} + {3.9^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} \ge 1.$

Đặt $t = {3^{\sqrt[{\rm{4}}]{{\rm{x}}} – \sqrt x }}, t > 0$ ta có bất phương trình: $3{t^2} + 2t – 1 \ge 0$
$ \Leftrightarrow t \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow {3^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} \ge {3^{ – 1}}$ $ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x \ge – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt x – \sqrt[4]{{\rm{x}}} – 1 \le 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{\rm{x}}} \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.$

Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là $0 \le x \le \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.$

Author: admin