Giả sử \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là các số bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Mệnh dề nào sau đây sai?

Giả sử \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là các số bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Mệnh dề nào sau đây sai?

A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^a {f\left( x \right)dx} = 0\)

B. \(\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

D. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào các tính chất cơ bản của tích phân ta có:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^a {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0 \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\(\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} – \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \)đáp án D đúng.

Chọn C.